Прямая и обратная пропорциональные зависимости.

22. Прямая и обратная пропорциональные зависимости

Прямая и обратная пропорциональные зависимости.

Если станок с числовым программным управлением за 2 ч изготовляет 28 деталей, то за вдвое большее время, т. е. за 4 ч, он изготовит вдвое больше таких деталей, т. е. 28 • 2 = 56 деталей.

Во сколько раз больше времени будет работать станок, во столько раз больше деталей он изготовит. Значит, равны отношения 4 : 2 и 56 : 28. Следовательно, верна пропорция 4 : 2 = 56 : 28.

Такие величины, как время работы станка и число изготовленных деталей, называют прямо пропорциональными величинами.

Две величины называют прямо пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз другая увеличивается (уменьшается) во столько же раз.

Если две величины прямо пропорциональны, то отношения соответствующих значений этих величин равны.

Пусть путь из города А в город В поезд со скоростью 40 км/ч проходит за 12 ч. Если скорость движения увеличить вдвое, т. е. сделать её равной 80 км/ч, то на этот же путь поезд затратит вдвое меньше времени, т. е. 6 ч.

Во сколько раз увеличится скорость движения, во столько же раз уменьшится время движения. В этом случае отношение 80 : 40 будет равно не отношению 6 : 12, а обратному отношению 12 : 6. Следовательно, верна пропорция 80 : 40 = 12 : 6.

Такие величины, как скорость и время, называют обратно пропорциональными величинами.
Две величины называют обратно пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз другая уменьшается (увеличивается) во столько же раз.

Если величины обратно пропорциональны, то отношение значений одной величины равно обратному отношению соответствующих значений другой величины.

Не всякие две величины являются прямо пропорциональными или обратно пропорциональными. Например, рост ребёнка увеличивается при увеличении его возраста, но эти величины не являются пропорциональными, так как при удвоении возраста рост ребёнка не удваивается.

Задачи на пропорциональные величины можно решить с помощью пропорции.

Задача 1. За 3,2 кг товара заплатили 115,2 р. Сколько следует заплатить за 1,5 кг этого товара?

Решение. Запишем кратко условие задачи в виде таблицы, обозначив буквой х стоимость (в рублях) 1,5 кг этого товара.

Запись будет иметь следующий вид:

Зависимость между количеством товара и стоимостью покупки прямо пропорциональна, так как если купить товара в несколько раз больше, то и стоимость покупки увеличится во столько же раз. Условно обозначим такую зависимость одинаково направленными стрелками.

Запишем пропорцию: .

Теперь найдём неизвестный член пропорции:

Ответ: 54 р.

Задача 2. Два прямоугольника имеют одинаковую площадь. Длина первого прямоугольника 3,6 м, а ширина 2,4 м. Длина второго прямоугольника 4,8 м. Найдите ширину второго прямоугольника.

Решение. Обозначив буквой х ширину (в метрах) второго прямоугольника, запишем кратко условие задачи:

Зависимость между шириной и длиной при одном и том же значении площади прямоугольника обратно пропорциональная, так как если увеличить длину прямоугольника в несколько раз, то надо ширину во столько же раз уменьшить. Условно обозначим такую зависимость противоположно направленными стрелками.

Запишем пропорцию:

Теперь найдём неизвестный член пропорции:

Ответ: 1,8 м.

Вопросы для самопроверки

  • Какие величины называют прямо пропорциональными? Что можно сказать об отношениях соответствующих значений таких величин?
  • Приведите примеры прямо пропорциональных величин.
  • Какие величины называют обратно пропорциональными? Что можно сказать об отношениях соответствующих значений таких величин?
  • Приведите примеры обратно пропорциональных величин.
  • Приведите примеры величин, у которых зависимость не является ни прямо, ни обратно пропорциональной.

Выполните упражнения

782.

Определите, является ли прямо пропорциональной, обратно пропорциональной или не является пропорциональной зависимость между величинами:

  • а) путём, пройденным автомашиной с постоянной скоростью, и временем её движения;
  • б) стоимостью товара, купленного по одной цене, и его количеством;
  • в) площадью квадрата и длиной его стороны;
  • г) массой стального бруска и его объёмом;
  • д) числом рабочих, выполняющих с одинаковой производительностью труда некоторую работу, и временем выполнения этой работы;
  • е) стоимостью товара и его количеством, купленным на определённую сумму денег;
  • ж) возрастом человека и размером его обуви;
  • з) объёмом куба и длиной его ребра;
  • и) периметром квадрата и длиной его стороны;
  • к) дробью и её знаменателем, если числитель не изменяется;
  • л) дробью и её числителем, если знаменатель не изменяется.

Задачи № 783 — 794 решите, составив пропорцию.

783. Стальной шарик объёмом б см3 имеет массу 46,8 г. Какова масса шарика из той же стали, если его объём 2,5 см3?

784. Из 21 кг хлопкового семени получили 5,1 кг масла. Сколько масла получится из 7 кг хлопкового семени?

785. Для строительства стадиона 5 бульдозеров расчистили площадку за 210 мин. За какое время 7 бульдозеров расчистили бы эту площадку?

786. Для перевозки груза потребовалось 24 машины грузоподъёмностью 7,5 т. Сколько нужно машин грузоподъёмностью 4,5 т, чтобы перевезти тот же груз?

787. Для определения всхожести семян посеяли горох. Из 200 посеянных горошин взошло 170. Какой процент горошин дал всходы (процент всхожести)?

788. Весной при проведении работ по озеленению города на улице посадили липы. Принялось 95% всех посаженных лип. Сколько посадили лип, если принялось 57 лип?

789. В лыжной секции занимаются 80 учащихся. Среди них 32 девочки. Какой процент участников секции составляют девочки и какой — мальчики?

790. Завод должен был за месяц по плану выплавить 980 т стали. Но план выполнили на 115%. Сколько тонн стали выплавил завод?

791. За 8 месяцев рабочий выполнил 96% годового плана. Сколько процентов годового плана выполнит рабочий за 12 месяцев, если будет работать с той же производительностью?

792. За три дня было убрано 16,5% всей свёклы. Сколько потребуется дней, чтобы убрать 60,5% всей свёклы, если работать с той же производительностью?

793. В железной руде на 7 частей железа приходится 3 части примесей. Сколько тонн примесей в руде, которая содержит 73,5 т железа?

794. Для приготовления борща на каждые 100 г мяса надо взять 60 г свёклы. Сколько свёклы надо взять на 650 г мяса?

795. Вычислите устно:

796. Представьте в виде суммы двух дробей с числителем 1 каждую из следующих дробей: .

797. Из чисел 3, 7, 9 и 21 составьте две верные пропорции.

798. Средние члены пропорции 6 и 10. Какими могут быть крайние члены? Приведите примеры.

799. При каком значении х верна пропорция:

800. Найдите отношение:

  • а) 2 мин к 10 с;
  • б) 0,3 м2 к 0,1 дм2;
  • в) 0,1 кг к 0,1 г;
  • г) 4 ч к 1 сут;
  • д) 3 дм3 к 0,6 м3.

801. Где на координатном луче должно быть расположено число с, чтобы была верна пропорция (рис. 34)?

Рис. 34

802. Развивайте свою память! Закройте таблицу листом бумаги. На несколько секунд откройте первую строку и затем, вновь закрыв её, постарайтесь повторить или записать три числа этой строки.

Если вы верно воспроизвели все числа, переходите ко второй строке таблицы. Если в какой-либо строке допущена ошибка, сами напишите несколько наборов из такого же, как в строке, количества двузначных чисел и тренируйтесь в их запоминании.

Если вы можете без ошибок воспроизвести не менее пяти двузначных чисел, у вас хорошая память.

803. Решите уравнение:

804. Можно ли составить верную пропорцию из следующих чисел:

805. Из равенства произведений 3 • 24 = 8 • 9 составьте три верные пропорции.

806. Длина отрезка АВ равна 8 дм, а длина отрезка CD равна 2 см. Найдите отношение длин отрезков АВ и CD. Какую часть длины отрезка АВ составляет длина отрезка CD?

807. В санатории 460 отдыхающих, из которых 70% взрослые, а остальные — дети. Сколько детей отдыхало в санатории?

808. Найдите значение выражения:

809. Решите задачу:

  1. При обработке детали из отливки массой 40 кг в отходы ушло 3,2 кг. Какой процент составляет масса детали от массы отливки?
  2. При сортировке зерна из 1750 кг в отходы ушло 105 кг. Какой процент зерна остался?

810. Найдите значение выражения:

  1. 6,0008 : 2,6 + 4,23 • 0,4;
  2. 2,91 • 1,2 + 12,6288 : 3,6.

811. Из 20 кг яблок получается 16 кг яблочного пюре. Сколько яблочного пюре получится из 45 кг яблок?

812. Трое маляров могут закончить работу за 5 дней. Для ускорения работы добавили ещё двух маляров. За какое время они закончат работу, если все маляры работают с одинаковой производительностью?

813. Бетонная плита объёмом 2,5 м3 имеет массу 4,75 т. Каков объём плиты из такого же бетона, если её масса 6,65 т?

814. В сахарной свёкле содержится 18,5% сахара. Сколько сахара содержится в 38,5 т сахарной свёклы? Ответ округлите до десятых долей тонны.

815. В семенах подсолнечника нового сорта содержится 49,5% масла. Сколько килограммов таких семян надо взять, чтобы в них содержалось 29,7 кг масла?

816. В 80 кг картофеля содержится 14 кг крахмала. Найдите процентное содержание крахмала в таком картофеле.

817. В семенах льна содержится 47% масла. Сколько масла содержится в 80 кг семян льна?

818. Рис содержит 75% крахмала, а ячмень — 60%. Сколько надо взять ячменя, чтобы в нём содержалось столько же крахмала, сколько его содержится в 5 кг риса?

819. Найдите значение выражения:

  • а) 203,81 : (141 – 136,42) + 38,4 : 0,75;
  • б) 96 : 7,5 + 288,51 : (80 – 76,74).

Источник: https://tepka.ru/matematika_6/22.html

Прямая и обратная пропорциональные зависимости

Прямая и обратная пропорциональные зависимости.

Представим себе такую историю…

– Саша, чем ты занимаешься? – поинтересовался Паша.

– Нам по математике задали разгадать ребус, по которому мы узнаем тему нашего следующего урока, – ответил Саша. — А в этом ребусе как-то чересчур всё запутанно.

– Не расстраивайся! – подбодрил друга Паша. – Я помогу тебе. Показывай свой ребус.

– Вот, смотри, какое длиннющее слово! – воскликнул Саша.

– Саша, да это совсем лёгкий ребус, – возразил Паша. – Сейчас мы вместе быстренько всё разгадаем. Итак, твой ребус начинается с буквы «п». Букву эту и оставим на первом месте. Затем нарисован топор, а под ним равенство цифры и буквы.

Знак равенства, изображённый возле картинки, служит для обозначения замены одной из букв на другую. У тебя нарисован топор, а снизу равенство, указывающее, что нужно первую букву в названии картинки заменить на букву «р».

Что за слово получится после замены?

– Был топор, заменим первую букву на «р», значит, у нас получится «ропор», – сказал Саша.

– Верно! – согласился Паша. – Перейдём к следующей картинке. Напомню, что запятые в ребусе означают, что из названия картинки нужно исключить столько букв, сколько стоит запятых. Если запятые стоят перед картинкой, то убираем буквы в начале слова, если после – в конце слова, – вспомнил Паша. – После нашей картинки стоят две запятые. Что за слово получится?

– У нас нарисован цирк, – начал размышлять Саша. – А после картинки стоят две запятые. Значит, исключим последние две буквы. И останется у нас «ци».

– Отлично! – поддержал друга Паша. – Идём дальше. Если один предмет или символ нарисован под другим, то слово расшифровываем с прибавлением предлога «над», «на» или «под». Предлог нужно выбрать по смыслу. Попробуй расшифровать.

– Так, – стал размышлять Саша, – здесь написаны две буквы, причём буква «о» написана над буквой «эль». Значит, может получиться либо «О над ЭЛЬ», либо «О на ЭЛЬ», либо «ЭЛЬ под О».

– Хорошо! – согласился Паша. – Перейдём к следующей картинке. Если картинка перевёрнута вверх ногами, это значит, что слово читается задом наперёд. Плюс у нас тут ещё написано равенство цифры и буквы, которое указывает, что четвёртую букву в слове нужно заменить на «с». Что тогда получится?

– У нас нарисован конь, – начал размышлять Саша. – Задом наперёд это слово читается так: «ЬНОК». Затем заменим четвёртую букву на «с». И получится у нас «ЬНОС».

– Верно! – согласился Паша. – Перейдём к последней картинке. Не забудь, перед нашей картинкой стоят три запятые. Что за слово получится?

– У нас нарисована кисть, – сказал Саша. – Перед картинкой стоят три запятые. Значит, исключим первые три буквы. И останется у нас «ть».

– Молодец! – обрадовался за друга Паша. – А теперь попробуй из получившихся слогов и букв составить единое слово.

– Так, – начал Саша, – у нас есть буква «п», слово «ропор», слог «ци», затем нужно выбрать один из вариантов «О над ЭЛЬ», «О на ЭЛЬ», «ЭЛЬ под О», потом идёт слово «ЬНОС» и слог «ть». Подумаем… Так это же «пропорциональность»!

– Молодец, Саша! – похвалил друга Паша. — Значит, на уроке математики вы будете знакомиться с пропорциональностью!

– Интересно, что это за пропорциональность такая? – спросил Саша.

– А давай спросим у Мудряша, – предложил Паша. – Он точно сможет объяснить.

– Ребята, прежде чем я отвечу на ваш вопрос, давайте немного разомнёмся и выполним устные задания, – предложил Мудряш.

– Давайте сверимся! – сказал Мудряш. — Посмотрите, что у вас должно было получиться!

– Ну а теперь вернёмся к вашему вопросу, – начал Мудряш. – Часто в жизни мы сталкиваемся с различными величинами – это главный инструмент описания окружающего мира. Величиной называют такое свойство предмета или объекта, которое можно измерить. Например, возраст дерева, высота дома, скорость передвижения. Величины могут быть связаны, зависеть друг от друга или нет.

– Давайте рассмотрим такой пример – предложил Мудряш. – 1 килограмм яблок стоит 50 рублей. Сколько рублей нужно отдать за 3 килограмма яблок?

– Ну что тут считать, – улыбнулся Саша, – так как 1 килограмм яблок стоит 50 рублей, то за 3 килограмма яблок придётся заплатить 150 рублей.

– Хорошо! – согласился Мудряш. – Тогда скажите, а сколько нужно будет заплатить, например, за 6 килограмм яблок?

– И тут несложно посчитать, – сказал Паша. – За 6 килограмм яблок придётся заплатить 300 рублей.

– Молодцы! – похвалил ребят Мудряш. – Посмотрите на таблицу. Здесь указана зависимость стоимости покупки от количества килограммов яблок. Что вы можете сказать об этой зависимости?

– Понятно, что стоимость товара напрямую зависит от его количества, – заметил Паша. – Чем больше товара покупают, тем больше будет его стоимость.

– Если нужно купить 2 килограмма яблок, то и стоимость покупки увеличится в 2 раза, – продолжил Саша, – если же необходимо купить 3 килограмма яблок, стоимость покупки также увеличится, но уже в 3 раза и так далее.

– Правильно! – сказал Мудряш. – Из таблицы видно, что увеличение (уменьшение) количества килограммов яблок в несколько раз приводит к соответствующему увеличению (уменьшению) стоимости покупки.

Запомните!Две переменные величины называютпрямо пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз другая увеличивается (уменьшается) во столько же раз.

– Вернёмся к нашему примеру, – продолжил Мудряш, – количество и стоимость – это прямо пропорциональные величины. Также можно сказать, что стоимость прямо пропорциональна количеству или зависимость между количеством и стоимостью является прямой пропорциональностью.

– Давайте найдём отношения стоимости покупки к количеству, – сказал Мудряш.

– Отношения стоимости покупки к количеству будут равны, – начал Саша, – , , , ,  и .

– Ой, так все эти отношения равны, – заметил Паша. – Если мы вычислим значения этих отношений, то увидим, что все они равны 50.

– Молодцы! – похвалил ребят Мудряш. – Эти равенства иллюстрируют свойство переменных величин, которые находятся в прямой пропорциональной зависимости. Запомните!Если две переменные величины прямо пропорциональны, то отношение соответствующих значений этих величин равно одному и тому же, постоянному для данных величин, числу.

– Однако не всякая зависимость между переменными величинами является прямой пропорциональностью, – продолжил Мудряш. – Давайте рассмотрим пример из вашей жизни.

Представим, что Саша поехал в магазин на велосипеде.

Расстояние от дома до магазина Саша проехал за 30 минут, двигаясь со скоростью 150 метров в минуту, а на обратную дорогу затратил всего лишь 15 минут, двигаясь со скоростью 300 метров в минуту.

– Что вы можете сказать о Сашиной поездке в магазин? – спросил у ребят Мудряш.

– На обратном пути Саша увеличил скорость в 2 раза и потратил на дорогу в 2 раза меньше времени.

– Правильно! – согласился Мудряш. – Увеличение скорости в 2 раза привело к уменьшению затраченного времени также в 2 раза. Несложно догадаться, что если бы Саша увеличил скорость в 3 раза, в 4 раза, в 5 раз и так далее, то время движения уменьшилось бы соответственно в 3 раза, в 4 раза, в 5 раз.

И наоборот, если бы Саша уменьшил скорость движения в несколько раз, то во столько же раз увеличилось бы время движения.

В таких случаях говорят, что скорость и время движения являются обратно пропорциональными величинами или зависимость между скоростью и временем движения является обратной пропорциональностью.

Запомните! – продолжил Мудряш. – Две переменные величины называютобратно пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из этих величин в несколько раз другая уменьшается (увеличивается) во столько же раз.

– И снова вернёмся к нашему примеру, – сказал Мудряш. – Мы с вами убедились: при увеличении Сашей скорости в 2 раза время на дорогу уменьшилось тоже в 2 раза. Но обратите внимание: расстояние, которое Саша проехал от дома до магазина и из магазина домой, не поменялось. Этот пример иллюстрирует свойство переменных величин, которые находятся в обратно пропорциональной зависимости.

Запомните!Если две переменные величины обратно пропорциональны, то произведение соответствующих значений этих величин равно одному и тому же для данных величин числу.

– Важно понимать, что не всякие две величины являются прямо пропорциональными или обратно пропорциональными. Например, возраст человека и размер его обуви не связаны пропорциональной зависимостью. Понятно, что зависимость между величинами есть. Размер обуви с возрастом, конечно, увеличивается, но не во столько же раз.

– А теперь, ребята, давайте посмотрим, как вы всё поняли, и выполним несколько заданий.

Задача первая: для приготовления борща на каждые 100 грамм мяса надо взять 60 грамм свёклы. Сколько свёклы надо взять на 650 грамм мяса?

Решение: это задача на прямую пропорциональную зависимость, так как чем больше в борщ будут добавлять мяса, тем больше потребуется свёклы. Для наглядности запишем краткое условие задачи, обозначим за х неизвестную нам массу свёклы.

Масса мяса увеличилась, поставим стрелку от меньшего к большему, но и масса свёклы тоже увеличилась, значит, тоже поставим стрелку от меньшего к большему. Составим пропорцию: . Найдём неизвестный крайний член пропорции.

Тогда на 650 грамм мяса нужно взять 390 грамм свёклы. Не забудем записать ответ.

Задача вторая: для строительства стадиона 5 бульдозеров расчистили площадку за 210 минут. За какое время 7 бульдозеров расчистили бы эту площадку?

Решение: это задача на обратно пропорциональную зависимость, так как с увеличением количества бульдозеров время на расчистку стадиона уменьшится. Для наглядности запишем краткое условие задачи, обозначим за х неизвестное нам время.

Количество бульдозеров увеличилось, поставим стрелку от меньшего к большему, а вот время на расчистку стадиона уменьшилось, поставим стрелку в обратном направлении. Составим пропорцию . Обратите внимание: члены второго отношения мы поменяли местами, чтобы не нарушить свойство пропорции.

Найдём неизвестный средний член пропорции. Тогда получим, что 7 бульдозеров расчистят площадку за 150 минут. Запишем ответ.

Источник: https://videouroki.net/video/22-pryamaya-i-obratnaya-proporcionalnye-zavisimosti.html

Урок 23 Бесплатно Прямая и обратная пропорциональные зависимости

Прямая и обратная пропорциональные зависимости.

На этом уроке мы рассмотрим, что такое прямая и обратная пропорциональные зависимости, научимся оформлять и решать задачи с помощью пропорции, устанавливая пропорциональную зависимость между величинами в ней, рассмотрим примеры задач на прямую и обратную пропорциональную зависимость.

Давайте сначала разберемся, что такое пропорциональность.

Пропорциональность – это зависимость двух величин друг от друга таким образом, что значение отношения этих величин остается постоянным.

Зависимость величин друг от друга может быть прямой и обратной.

Отношение между величинами описываются прямой или обратной пропорциональностью.

Прямая пропорциональность выражается так: \(\mathbf{y = kx}\)

Обратная пропорциональность выражается так: \(\mathbf{y = \frac{k}{x}}\)

где – это число, которое называют коэффициентом пропорциональности.

x и y величины, зависящие друг от друга.

Пример

Площадь прямоугольника равна \(\mathbf{S = a \cdot b}\), где S– это площадь прямоугольника, а – длина прямоугольника, b – ширина прямоугольника.

Если один из множителей произведения – постоянная величина, то произведение прямо пропорционально второму множителю.

Если постоянно значение произведения, то множители зависят друг от друга обратно пропорционально.

По формуле видно, что площадь квадрата зависит от длины (ширины) его стороны, а длина стороны (ширина) зависит от его площади.

Какова эта зависимость, сейчас и рассмотрим.

\(\mathbf{S = a \cdot b}\)

Зависимость площади прямоугольника от длины при постоянном значении ширины является прямо пропорциональной зависимостью этих величин.

Зависимость площади прямоугольника от ширины при постоянном значении длины является прямо пропорциональной зависимостью этих величин.

\(\mathbf{a = \frac {S}{b}}\) или \(\mathbf{b = \frac {S}{a}}\)

Пусть одна клетка равна 1 см. Рассмотрим рисунок:

Ширина прямоугольника b постоянная величина

b = 4 см

a1 = 6 см

Увеличим ширину прямоугольника – сторону a1 на 1 см, получим

a2 = 7 см

Найдем площади прямоугольников S1 и S2

\(\mathbf{S_{1} = a_{1} \cdot b = 6 \cdot 4 = 24}\) см2

\(\mathbf{S_{2} = a_{2} \cdot b = 7 \cdot 4 = 28}\)  см2

Вывод: при увеличении стороны прямоугольника увеличилась площадь прямоугольника.

Рассмотрим другой вариант зависимости

Зависимость одной из сторон прямоугольника от второй стороны при постоянном значении площади прямоугольника является обратно пропорциональной зависимостью. Пусть одна клетка равна 1 см

Площадь прямоугольника S постоянная величина

S = 24 см2

b1 = 4 см

\(\mathbf{a_{1} = \frac{S}{b_{1}} = 6}\) (см)

Увеличим высоту прямоугольника- сторону прямоугольника b1 на 2 см, получим

b2 = 6 см

Найдем ширину прямоугольника- сторону a2

\(\mathbf{a_{2} = \frac{S}{b_{2}} = 4}\) (см)

Вывод: при увеличении одной стороны прямоугольника и постоянном значении площади, вторая сторона уменьшается.

Таким образом, мы подошли к основным понятиям пропорциональной зависимости. Чтобы было легко разобраться в несложных схемах ниже, мы дадим пояснение символам:

Итак:

1)    Две величины прямо пропорциональны друг другу, если при увеличении (уменьшении) одной величины в n количество раз, другая величина, зависящая от первой, так же увеличивается (уменьшается) в n количество раз.

2)    Две величины обратно пропорциональны друг другу, если при увеличении (уменьшении) одной величины в n количество раз, другая величина, зависящая от первой, уменьшается (увеличивается) в n количество раз.

Примеров прямой и обратной пропорциональности множество.

Однако не все величины зависят друг от друга прямо пропорционально или обратно пропорционально, встречаются и более простые и более сложные зависимости величин.

Надо понимать, что даже если какие-нибудь две величины возрастают или убывают, то между ними не обязательно существует пропорциональная зависимость.

Например, с течением времени увеличивается возраст человека и его размер ноги, но эти величины не являются пропорциональными, так как при удвоении возраста размер ноги человека не удваивается

Алгоритм решения задач на пропорциональную зависимость состоит из нескольких основных пунктов:
  1. Обозначить буквой значение неизвестной величины (чаще всего для этого выбирают латинскую букву Х)
  2. Проанализировать задачу и кратко записать ее условия (краткую запись можно делать в виде таблицы или изображать в виде логической схемы)
  3. Установить зависимость между величинами
  4. В краткой записи задачи обозначить стрелками пропорциональную зависимость

– Стрелки, которые направлены в одну сторону, обозначают прямую пропорциональную зависимость величин

– Стрелки, которые направлены в разные стороны, обозначают обратную пропорциональную зависимость величин.

        5. Записать пропорцию, учитывая характер пропорциональности величин

        6. Составить уравнение

        7. Найти неизвестный член уравнения (искомую величину)

        8. Записать ответ задачи

Важно помнить, что при составлении краткой записи задачи величины с одинаковыми единицами измерения записывают друг под другом.

Если между величинами прямая пропорциональная зависимость, то пропорция составляется точно в соответствии с краткой записью задачи.

Если между величинами обратная пропорциональная зависимость, то при составлении пропорции одноименные величины меняются местами в одном любом из столбцов таблицы (логической схемы) краткой записи задачи.

Другими словами, при прямо пропорциональной зависимости отношение значений одной величины равно отношению соответствующих значений другой величины.

При обратно пропорциональной зависимости отношение значений одной величины будет равно обратному отношению соответствующих значений другой величины.

Рассмотрим некоторые варианты задач на пропорциональную зависимость, в которых величины зависят прямо пропорционально одна от другой.

Задача 1

Для приготовления из 3 кг черной смородины по рецепту требуется 3,3 кг сахара.

Сколько сахара потребуется для приготовления варенья из 5 кг черной смородины?

Решение:

Пусть х (кг) сахара потребуется для приготовления варенья из 5 кг ягод.

Составим краткую запись задачи в виде таблицы:

Определим, как зависят масса сахара и масса ягод.

Чем больше ягод, тем больше нужно сахара, следовательно, между величинами прямо пропорциональная зависимость.

В таблице вертикальными стрелками изображаем прямо пропорциональную зависимость величин.
Так как зависимость величин прямо пропорциональная, составим пропорцию в точном соответствии с таблицей.

Отношение значений одной величины равно отношению соответствующих значений другой величины.

Получим \(\mathbf{\frac{3,3}{x} = \frac{3}{5}}\)

Составим уравнение, используя основное свойство пропорции:

\(\mathbf{{3}\cdot{x} = {5}\cdot{3,3}}\)

\(\mathbf{ {x} = {(5}\cdot{3,3)}\div{3}}\)

\(\mathbf{ {x} = {5,5}}\) (кг) сахара потребуется для приготовления варенья из 5 кг ягод.

Ответ: \(\mathbf{ {x} = {5,5}}\)  (кг)

Задача 2

Автомобиль, двигаясь с постоянной скоростью, проехал 400 км за 5 часов.

За какое время автомобиль проедет 600 км?

Решение:

Пусть х (ч) – время, за которое автомобиль проедет 600 км.

Составим краткую запись задачи в виде таблицы:

Определим, как зависят величины S от t, где – это путь, а – это время.

Так как движение происходит с постоянной скоростью, то \(\mathbf{ {S} = {V}\cdot{t}}\).

Чем больше расстояние, тем больше требуется времени для преодоления этого расстояния, значит, зависимость между величинами S и t прямо пропорциональная.

Изображаем в таблице краткой записи задачи вертикальными стрелками прямо пропорциональную зависимость величин.

Так как зависимость величин прямо пропорциональная, составим пропорцию в точном соответствии с таблицей.

Отношение значений одной величины равно отношению соответствующих значений другой величины.

Получим \(\mathbf{\frac{5}{x} = \frac{400}{600}}\)

Составим уравнение, используя основное свойство пропорции:

\(\mathbf{ {400}\cdot{x} = {5}\cdot{600}}\)

\(\mathbf{ {x} = {(5}\cdot{600)}\div{400}}\)

\(\mathbf{ {x} = {7,5}}\)   (ч) время, за которое автомобиль проедет 600 км

Ответ: \(\mathbf{ {x} = {7,5}}\)  (ч)

Примеры решения задач, в которых величины зависят обратно пропорционально одна от другой.

Задача 1

Для перевозки гравия потребовалось 42 машины грузоподъемностью т.

Сколько нужно машин грузоподъемностью т, чтобы перевезти тот же объем гравия?

Решение:

Пусть х (шт) – это количество машин грузоподъемностью 7 т, необходимых для перевозки груза.

Краткую запись задачи оформим в виде таблицы:

Определим, как зависят величины друг от друга.

Чем больше грузоподъемность машины, тем меньше машин потребуется для перевозки груза.

Получаем обратно пропорциональную зависимость.


Изображаем на краткой записи задачи вертикальными стрелками, направленными в разные стороны, обратно пропорциональную зависимость величин.

При обратно пропорциональной зависимости отношение значений одной величины будет равно обратному отношению соответствующих значений другой величины.

А это значит, что при составлении пропорции одно из отношений получится перевернутым.

Получим \(\mathbf{\frac{42}{x} = \frac{7}{5}}\)

Составим уравнение, используя основное свойство пропорции:

\(\mathbf{ {7}\cdot{x} = {42}\cdot{5}}\)

\(\mathbf{ {x} = {(42}\cdot{5)}\div{7}}\)

\(\mathbf{ {x} = {30}}\) (шт.) машин грузоподъёмностью 7 т понадобится для перевозки гравия.

Ответ: \(\mathbf{ {x} = {30}}\)  (шт.)

Задача 2

Велосипедист проехал путь от дачи до дома за час со скоростью 10 км/ч. Сколько понадобится времени велосипедисту на преодоление этого пути со скоростью 20 км/ч?

Решение:

Пусть х (ч) время велосипедиста, если он будет двигаться со скоростью 20 км/ч. Составим краткую запись задачи в виде таблицы:

Определим, как зависят V и t, где V– скорость движения велосипедиста, t– время движения.

Чем больше скорость велосипедиста, тем меньше времени ему потребуется для преодоления пути.

Получаем обратно пропорциональную зависимость величин друг от друга.

Изображаем на краткой записи задачи вертикальными стрелками, направленными в разные стороны, обратно пропорциональную зависимость величин.

При обратно пропорциональной зависимости отношение значений одной величины будет равно обратному отношению соответствующих значений другой величины.

А это значит, при составлении пропорции одно из отношений получаем перевернутым.

Получим  \(\mathbf{\frac{x}{1} = \frac{10}{20}}\)

Составим уравнение, используя основное свойство пропорции:

\(\mathbf{ {20}\cdot{x} = {10}\cdot{1}}\)

\(\mathbf{ {x} = {(10}\cdot{1)}\div{20}}\)

\(\mathbf{ {x} = {0,5}}\) (ч) время велосипедиста, если он будет двигаться со скоростью 20 км/ч.

Ответ: \(\mathbf{ {x} = {0,5}}\) (ч)

У меня есть дополнительная информация к этой части урока!

Закрыть

Рассмотрим некоторые, часто встречающиеся, варианты прямой и обратной пропорциональной зависимости величин в решении задач

Примеры задач, в которых величины зависят прямо пропорционально одна от другой.
Величины, зависящие друг от другаВеличина постоянная
Величина дроби и ее числительЗнаменатель дроби
Объем выполненной работы и затраченное времяПроизводительность труда
Производительность труда и объем выполненной работыВремя работы
Длина пути и время прохождения этого путиСкорость движения
Пройденный путь и скорость движенияВремя движения
Количество товара и стоимостьЦена товара
Длина (ширина) прямоугольника и его площадьШирина (длина)
Примеры задач, в которых величины зависят обратно пропорционально одна от другой
Знаменатель дроби и значение дробиЧислитель дроби
Число рабочих и время выполнения ими заданной работыПроизводительность всех рабочих
Производительность труда и время потраченное на работуОбъем работы
Скорость движения и времяПуть
Количество товара и его ценаСтоимость покупки

Пройти тест

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Источник: https://ladle.ru/education/matematika/6class/pryamaya-i-obratnaya

Урок 7. прямая и обратная пропорциональность. решение задач – Математика – 6 класс – Российская электронная школа

Прямая и обратная пропорциональные зависимости.

Математика

6 класс

Урок № 7

Прямая и обратная пропорциональность. Решение задач

Перечень рассматриваемых вопросов:

  • Понятия прямой и обратной пропорциональной зависимости.
  • Краткая запись условия задачи.
  • Составление и решение пропорций по условию задачи.
  • Решение задач на прямую и обратную пропорциональную зависимость.

Тезаурус

Равенство двух отношений называют пропорцией.

Две величины называются прямо пропорциональными, если при увеличении одной из них в несколько раз другая увеличивается во столько же раз.

Две величины называются обратно пропорциональными, если при увеличении одной из них в несколько раз другая уменьшается во столько же раз.

Основная литература

  1. Никольский С. М. Математика. 6 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. — М.: Просвещение, 2017. — 258 с.

Дополнительная литература

  1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты. 5-6 кл. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина — М.: Просвещение, 2009. — 142 с.
  2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 кл. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин — М.: Просвещение, 2014. — 95 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Прямая пропорциональность.

Две величины называются прямо пропорциональными, если при увеличении одной из них в несколько раз другая увеличивается во столько же раз.

Обратная пропорциональность.

Две величины называются обратно пропорциональными, если при увеличении одной из них в несколько раз другая уменьшается во столько же раз.

Для решения задач на пропорциональную зависимость, удобно составить таблицу или сделать краткую запись условия.

Столбцы таблицы соответствуют наименованиям зависимых величин.

Строки таблицы соответствуют значениям величин при первом и втором измерении.

Одинаково направленные стрелки показывают прямо пропорциональную зависимость, противоположно направленные – обратно пропорциональную.

Задача.

Поезд, скорость которого 55 км/ч, был в пути 5 часов. За сколько часов пройдёт этот же участок пути товарный поезд, скорость которого 45 км/ч?

Решение.

При постоянном пути скорость и время движения обратно пропорциональны.

Допустим, товарный поезд пройдёт этот же путь со скоростью 45 км/ч за x ч.

Сделаем краткую запись условия.

Задача.

Двигаясь с постоянной скоростью, велогонщик проезжает 40 метров за 3 с. Какой путь проедет велогонщик за 45 с?

Решение.

При постоянной скорости путь прямо пропорционален времени движения.

Пусть х м проедет велогонщик за 45 с.

Сделаем краткую запись условия.

Задача.

Усилие при восхождении на высоту 600 м равно усилию, требуемому для перехода 25 км по равнине. Турист поднялся в горы на 792 м. Какому расстоянию на равнине соответствует этот подъём?

Решение:

Решение.

Задача.

Четыре программиста могут написать игру за 12 месяцев. За сколько месяцев эту работу могут выполнить три программиста?
Решение.

Количество программистов и скорость написания игры – это обратно пропорциональная зависимость.

Разбор заданий тренировочного модуля

№ 1. Подстановка элементов в пропуски в тексте.

Подставьте нужные элементы в пропуски.

Пешеход шёл 3 часа со скоростью 8 км/ч. За сколько часов он пройдёт то же расстояние со скоростью 6 км/ч?

Решение:

При фиксированном расстоянии время в пути и скорость – ______ пропорциональны.

Пусть _____ часов – пешеход идёт со скоростью 6 км/ч.

Составим пропорцию:

_________

х=_______

х=_______(ч).

Правильный ответ.

Решение:

При фиксированном расстоянии время в пути и скорость – обратно пропорциональны.

Пусть х часов – пешеход идёт со скоростью 6 км/ч.

№ 2. Подстановка элементов в пропуски в таблице.

Заполните таблицу.

Поезд движется со скоростью 45 км/ч. Какое расстояние он пройдёт, если будет в пути 3 ч; 4 ч; 5 ч; 6 ч.

Варианты ответов:

135 км;

180 км;

225 км;

270 км.

Решение.

При постоянной скорости пройденный путь и время прямо пропорциональны. Скорость движения поезда 45 км/ч означает, что за 1 час поезд преодолевает расстояние в 45 км. Обозначим за x км – расстояние, которое поезд пройдёт за 3, 4, 5 и 6 часов.

Таким же способом находим расстояние, которое пройдёт поезд за 4, 5 и 6 часов, и подставляем соответствующие варианты в таблицу.

Ответ:

Источник: https://resh.edu.ru/subject/lesson/6840/conspect/

Поделиться:
Нет комментариев

    Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Все поля обязательны для заполнения.