Общий взгляд на преобразование дробей. Числовые и алгебраические выражения

Содержание

Сложение и вычитание алгебраических дробей

Общий взгляд на преобразование дробей. Числовые и алгебраические выражения

Алгебраические дроби складывают и вычитают по правилам сложения и вычитания обыкновенных дробей.

Сложение алгебраических дробей

Запомните!

Складывать можно только дроби с одинаковыми знаменателями!

Можно складывать дроби

При сложении алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями:

  1. числитель первой дроби складывается с числителем второй дроби;
  2. знаменатель остаётся прежним.

Рассмотрим пример сложения алгебраических дробей.

Так как знаменатель у обеих дробей «2а», значит, дроби можно сложить.

Сложим числитель первой дроби с числителем второй дроби, а знаменатель оставим прежним. При сложении дробей в полученном числителе приведем подобные.

Вычитание алгебраических дробей

Запомните!

Вычитать можно только дроби с одинаковыми знаменателями!

При вычитании алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями:

  1. из числителя первой дроби вычитается числитель второй дроби.
  2. знаменатель остаётся прежним.

Важно!

Обязательно заключите в скобки весь числитель вычитаемой дроби.

Иначе вы сделаете ошибку в знаках при раскрытии скобок вычитаемой дроби.

Рассмотрим пример вычитания алгебраических дробей.

Так как у обеих алгебраических дробей знаменатель «2с», значит, эти дроби можно вычитать.

Вычтем из числителя первой дроби «(a + d)» числитель второй дроби «(a − b)». Не забудем заключить числитель вычитаемой дроби в скобки. При раскрытии скобок используем правило раскрытия скобок.

Приведение алгебраических дробей к общему знаменателю

Рассмотрим другой пример. Требуется сложить алгебраические дроби.

В таком виде сложить дроби нельзя, так как у них разные знаменатели.

Прежде чем складывать алгебраические дроби их необходимо привести к общему знаменателю.

Правила приведения алгебраических дробей к общему знаменателю очень похожи на правила приведения к общему знаменателю обыкновенных дробей. .

В итоге мы должны получить многочлен, который без остатка разделится на каждый прежний знаменатель дробей.

Чтобы привести алгебраические дроби к общему знаменателю необходимо сделать следующее.
  1. Работаем с числовыми коэффициентами. Определяем НОК (наименьшее общее кратное) для всех числовых коэффициентов.
  2. Работаем с многочленами. Определяем все различные многочлены в наибольших степенях.
  3. Произведение числового коэффициента и всех различных многочленов в наибольших степенях и будет общим знаменателем.
  4. Определяем, на что нужно умножить каждую алгебраическую дробь, чтобы получить общий знаменатель.

Вернемся к нашему примеру.

Рассмотрим знаменатели «15a» и «3» обеих дробей и найдем для них общий знаменатель.

  1. Работаем с числовыми коэффициентами. Находим НОК (наименьшее общее кратное — это число, которое без остатка делится на каждый числовый коэффициент). Для «15» и «3» — это «15».
  2. Работаем с многочленами. Необходимо перечислить все многочлены в наибольших степенях. В знаменателях «15a» и «5» есть только
    один одночлен — «а».
  3. Перемножим НОК из п.1 «15» и одночлен «а» из п.2. У нас получится «15a». Это и будет общим знаменателем.
  4. Для каждой дроби зададим себе вопрос: «На что нужно умножить знаменатель этой дроби, чтобы получить «15a»?».

Рассмотрим первую дробь. В этой дроби и так знаменатель «15a», значит, ее не требуется ни на что умножать.

Рассмотрим вторую дробь. Зададим вопрос: «На что нужно умножить «3», чтобы получить «15a»?» Ответ — на «5a».

При приведении к общему знаменателю дроби умножаем на «5a» и числитель, и знаменатель.

Сокращенную запись приведения алгебраической дроби к общему знаменателю можно записать через «домики».

Для этого держим в уме общий знаменатель. Над каждой дробью сверху «в домике» пишем, на что умножаем каждую из дробей.

Теперь, когда у дробей одинаковые знаменатели, дроби можно сложить.

Рассмотрим пример вычитания дробей с разными знаменателями.

В таком виде вычитать дроби нельзя, так как у них разные знаменатели. Чтобы вычесть дроби, необходимо привести их к общему знаменателю.

Рассмотрим знаменатели «(x − y)» и «(x + y)» обеих дробей и найдем для них общий знаменатель.

  1. Работаем с числовыми коэффициентами. Числовых коэффициентов в знаменателях нет, поэтому переходим к многочленам.
  2. Работаем с многочленами. Находим все различные многочлены из знаменателей в наибольших степенях и перемножаем их. Важно!

    Многочлены необходимо рассматривать целиком! Для удобства заключайте целый многочлен в скобки.

У нас есть два различных многочлена в знаменателях «(x − y)» и «(x + y)». Их произведение будет общим знаменателем, т.е. «(x − y)(x + y)» — общий знаменатель.

Теперь дроби можно вычитать, т.к. у них одинаковый знаменатель.

В некоторых примерах, чтобы привести алгебраические дроби к общему знаменателю, нужно использовать формулы сокращенного умножения.

Рассмотрим пример сложения алгебраических дробей, где нам потребуется использовать формулу разности квадратов.

В первой алгебраической дроби знаменатель «(p2 − 36)». Очевидно, что к нему можно применить формулу разности квадратов.

После разложения многочлена «(p2 − 36)» на произведение многочленов
«(p + 6)(p − 6)» видно, что в дробях повторяется многочлен «(p + 6)». Значит, общим знаменателем дробей будет произведение многочленов «(p + 6)(p − 6)».

Важно! Прежде чем приводить многочлены к общему знаменателю, попытайтесь использовать формулы сокращённого умножения или вынесение общего множителя за скобки.

Примеры сложения и вычитания дробей с разными знаменателями с использованием формул сокращенного умножения.

Сложение и вычитание алгебраических дробей с вынесением общего множителя за скобки

На первый взгляд одинаковых многочленов в обеих дробях нет.

Вынесем общий множитель «а» за скобки в обоих знаменателях.

После вынесения общего множителя «а» за скобки, в обоих знаменателях появился одинаковый одночлен «а». Значит, общий знаменатель для обеих дробей будет выглядеть так: «а(а + 1)(b + 1)».

Сложение алгебраической дроби с одночленом или числом

Рассмотрим пример. Требуется сложить алгебраическую дробь с одночленом (буквой).

Чтобы сложить одночлен или число с алгебраической дробью, нужно представить одночлен в виде дроби со знаменателем «1».

Представим одночлен «а» как алгебраическую дробь со знаменателем «1».

Подобное действие можно сделать, так как при делении на единицу получается тот же самый одночлен.

Теперь приведем алгебраические дроби к общему знаменателю «(а − 1)» и решим пример.

Источник: http://math-prosto.ru/?page=pages/algebraic_fractions/addition_and_subtraction_algebraic_fractions.php

Общий взгляд на преобразование дробей

Общий взгляд на преобразование дробей. Числовые и алгебраические выражения

Данный обобщенный материал известен из школьного курса математики. Тут рассматриваем дроби общего вида с числами, степенями, корнями, логарифмами, тригонометрическими функция ми или другими объектами. Будут рассмотрены основные преобразования дробей вне зависимости от их вида.

Что такое дробь?

Определение 1

Дробь – это выражение, которое записывается в виде AB или А/В, где A и B являются некоторыми произвольными числами.

Существует еще несколько определений.

Определение 2

Горизонтальная наклонная черта, которая разделяет A и B, называют чертой дроби или дробной чертой.

Определение 3

Выражение, которое находится над чертой дроби, называют числителем,  а под – знаменателем.

От обыкновенных дробей к дробям общего вида

Знакомство с дробью происходит еще в 5 классе, когда проходят обыкновенные дроби. Из определения видно, что числителем и знаменателем являются натуральные числа.

Пример 1

К примеру 15, 26, 127, 31, которые можно записать как 1/5, 2/6, 12/7, 3/1.

После изучения действий с обыкновенными дробями имеем дело с дробями, которые имеют в знаменателе не одно натуральное число, а выражения с натуральными числами.

Пример 2

Например, 1+35, 9-516, 2·79·12.

Когда имеем дело с дробями, где есть буквы или буквенные выражения, то записывается таким образом:

a+bc, a-bc, a·cb·d.

Определение 4

Зафиксируем правила сложения, вычитания, умножения обыкновенных дробей ac+bc=a+bc, ac-bc=a-bc, ab·vd=a·cb·d

Для вычисления зачастую необходимо приходить к переводу смешанных чисел в обыкновенные дроби. Когда целую часть обозначим как a, тогда дробная имеет вид b/c, получаем дробь вида a·c+bc, откуда понятно появления таких дробей 2·11+311, 5·2+12 и так далее.

Черта дроби расценивается как знак деления. Поэтому запись можно преобразовать по-другому:

1:a-(2·b+1)=1a-2·b+1, 5-1,7·3:2·3-4:2=5-1,7·32·3-4:2, где частное 4:2 можно заменить на дробь, тогда получим выражение вида

5-1,7·32·3-42

Вычисления с рациональными дробями занимают особое место в математике, так как в числителе и знаменателе могут быть не просто числовые значения, а многочлены.

Пример 3

Например, 1×2+1, x·y-2·y20,5-2·x+y3.

Рациональные выражения рассматриваются как дроби общего вида.

Пример 4

Например, x·x+14×2·x2-12·x3+3, 1+x2·y·(x-2)1x+3·x1+2-x4·x5+6·x.

Изучение корней, степеней с рациональными показателями, логарифмов, тригонометрических функций говорит о том, что их применение появляется в заданных дробях вида:

Пример 5
anbn, 2·x+x23x13-12·x, 2×2+33×2+3, ln(x-3)ln e5, cos2α-sin2α1-1cos2α.

Дроби могут быть комбинированными, то есть иметь вид  x+1x3log3sin2x+3, lgx+2lgx2-2·x+1.

Виды преобразований дробей

Для ряда тождественных преобразований рассматривают несколько видов:

Определение 5

  • преобразование, характерное для работы с числителем и знаменателем;
  • изменение знака перед дробным выражением;
  • приведение к общему знаменателю и сокращение дроби;
  • представление дроби в виде суммы многочленов.

Преобразование выражений в числителе и знаменателе

Определение 6

При тождественно равных выражениях имеем, что полученная дробь является тождественно равной исходной.

Если дана дробь вида A/B, то A и B являются некоторыми выражениями. Тогда при замене получим дробь вида A1/B1. Необходимо доказать справедливость равенства A/A1=B/B1при любом значении переменных, удовлетворяющих ОДЗ.

Имеем, что A и A1 и B и B1 тождественно равны, тогда их значения тоже равны. Отсюда следует, что при любом их значении A/B и A1/B1 данные дроби будут равны.

Такое преобразование упрощает работу с дробями, если необходимо преобразовывать отдельно числитель и отдельно знаменатель.

Пример 6

Для примера возьмем дробь вида 2/18, которую преобразуем к 22·3·3. Для этого знаменатель раскладываем на простые множители.

Дробь x2+x·yx2+2·x·y+y2=x·x+y(x+y)2 имеет числитель вида x2+x·y, означает, что необходимо произвести замену на x·(x+y), которое будет получено при вынесении за скобки общего множителя x.

Знаменатель заданной дроби x2+2·x·y+y2свернуть по формуле сокращенного умножения. Тогда получим, что его тождественно равным выражением является (x+y)2.

Пример 7

Если дана дробь вида sin23·φ-π+cos23·φ-πφ·φ56,тогда для упрощения необходимо числитель заменить 1 по формуле, а знаменатель привести к виду φ1112. Тогда получим, что 1φ1112 равна заданной дроби.

Изменение знака перед дробью,  в ее числителе, знаменателе

Преобразования дробей – это также и замена знаков перед дробью. Рассмотрим некоторые правила:

Определение 7

  • при изменении знака числителя получаем дробь, которая равна заданной, причем буквенно это выглядит  как _-A-B=AB, где А и В являются некоторыми выражениями;
  • при изменении знака перед дробью и перед числителем, получаем, что –AB=AB;
  • при замене знака перед дробью и его знаменателя, получаем, что -A-B=AB.

Опиши задание

Доказательство

Знак минуса в большинстве случаев рассматривается как коэффициент со знаком -1, а дробная черта является делением. Отсюда получаем, что -A-B=-1·A:-1·B. Сгруппировав множители, имеем, что

-1·A:-1·B=((-1):(-1)·A:B==1·A:B=A:B=AB

После доказательства первого утверждения, обосновываем оставшиеся. Получим:

–AB=(-1)·(((-1)·A):B)=(-1·-1)·A:B==1·(A:B)=A:B=AB-A-B=(-1)·(A:-1·B)=((-1):(-1))·(A:B)==1·(A:B)=A:B=AB

Рассмотрим примеры.

Пример 8

Когда необходимо выполнить преобразование дроби 3/7 к виду -3-7, –37, -3-7, тогда аналогично выполняется с дробью вида -1+x-x2223-ln(x2+3)x+sin2x·3x.

Преобразования выполняются следующим образом:

1) -1+x-x2223-ln(x2+3)x+sin2x·3x==-(-1+x-x2)-223-lnx2+3x+sin2x·3x==1-x+x2-223+ln(x2+3)x-sin2x·3×2) -1+x-x2223-ln(x2+3)x+sin2x·3x==–(-1+x-x2)223-ln(x2+3)x+sin2x·3x==-1-x+x2223-ln(x2+3)x+sin2x·3×3)-1+x-x2223-ln(x2+3)x+sin2x·3x==–1+x-x2-223-ln(x2+3)x+sin2x·3x==–1+x-x2-223+ln(x2+3)x-sin2x·3x

Приведение дроби к новому знаменателю

При изучении обыкновенных дробей, мы коснулись основного свойства дробей, которое позволяет умножать, делить числитель и знаменатель на одно и то же натуральное число. Это видно из равенства a·mb·m=ab и a:mb:m=ab, где a, b, m являются натуральными числами.

Это равенство действительно для любых значений a, b , m и всех a, кроме b≠0 и m≠0. То есть мы получаем, что если числитель дроби А/В с A и C, которые являются некоторыми выражениями, умножить или разделить на выражение M, не равное 0, тогда получим дробь, тождественно равную начальной. Получаем, что A·MB·M=AB и A:MB:M=AB.

Отсюда видно, что преобразования основываются на 2 преобразованиях: приведении к общему знаменателю,  сокращении.

При приведении к общему знаменателю производится умножение на одно и то же число или выражение числитель и знаменатель. То есть мы переходим к решению тождественной равной преобразованной дроби.

Рассмотрим примеры.

Пример 9

Если взять дробь x+10,5·x3 и умножить на 2, тогда получим, что новый знаменатель получится 2·0,5·x3=x3, а выражение примет вид 2·x+1×3.

Пример 10

Для приведения дроби 1-x2·x23·1+ln x к другому знаменателю вида 6·x·1+ln x3 нужно, чтобы числитель и знаменатель быль умножен на 3·x13·(1+ln x)2. В итоге получаем дробь 3·x13·1+ln x2·1-x6·x·(1+ln x)3

Такое преобразование как избавление от иррациональности в знаменателе также применимо. Оно избавляет от наличия корня в знаменателе, что упрощает процесс решения.

Сокращение дробей

Основное свойство – это преобразование, то есть ее непосредственное сокращение. При сокращении мы получаем упрощенную дробь. Рассмотрим на примере:

Пример 11

Или дробь вида x3·x3·x2·(2×2+1+3)x3·x3·2×2+1+3·3+13·x, где сокращение производится при помощи x3, x3, 2×2+1+3или на выражение вида x3·x3·2×2+1+3. Тогда получим дробь x23+13·x

Сокращение дроби является простым, когда общие множители сразу явно видны. Практически это встречается не часто, поэтому предварительно необходимо проводить некоторые преобразования выражений такого вида. Бывают случаи, когда необходимо находить общий множитель.

Если имеется дробь вида x223·(1-cos2x)2·sinx2·cosx22·x13, тогда необходимо применять тригонометрические формулы и свойства степеней для того, чтобы можно было преобразовать дробь к виду x13·x213·sin2xsin2x·x13. Это даст возможность сократить ее на x13·sin2x.

Представление дроби в виде суммы

Когда числитель имеет алгебраическую сумму выражений типа A1, A2,…, An, а знаменатель обозначается B, тогда эта дробь может быть представлена как A1/B, A2/B, …, An/B.

Определение 8

Для этого зафиксируем это A1+A2+…+AnB=A1B+A2B+…+AnB.

Данное преобразование в корне отличается от  сложения дробей с одинаковыми показателями. Рассмотрим пример.

Пример 12

Дана дробь вида sin x-3·x+1+1×2, которую мы представим как алгебраическая сумма дробей. Для этого представим как sin xx2-3·x+1×2+1×2 или sin x-3·x+1×2+1×2 или sin xx2+-3·x+1+1×2.

Любая дробь, имеющая вид А/В представляется  в виде суммы дробей любым способом.  Выражение A в числителе может быть уменьшено или увеличено на любое число или выражение А0, которое даст возможность прейти к A+A0B-A0B.

Разложение дроби на простейшие  является частным случаем для преобразования дроби в сумму. Чаще всего его применяют при сложных вычислениях для интегрирования.
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Не получается написать работу самому?

Доверь это кандидату наук!

Источник: https://Zaochnik.com/spravochnik/matematika/vyrazhenija/obschij-vzgljad-na-preobrazovanie-drobej/

Алгебра 7-9 классы. 14. Решение типовых заданий по теме:

Общий взгляд на преобразование дробей. Числовые и алгебраические выражения

Подробности Категория: Алгебра 7-9 классы

 Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

При сложении обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями складывают их числители, а знаменатель оставляют прежним. Например:

Таким же образом складывают любые рациональные дроби с одинаковыми знаменателями:

где а, b и с — многочлены, причем с — ненулевой многочлен.

Это равенство выражает правило сложения рациональных дробей с одинаковыми знаменателями:

чтобы сложить рациональные дроби с одинаковыми знаменателями, надо сложить их числители, а знаменатель оставить тем же

Вычитание рациональных дробей выполняется аналогично сложению:

Чтобы выполнить вычитание рациональных дробей с одинаковыми знаменателями, надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить тем же.

Пример 1. Сложим дроби

Пример 2. Вычтем дроби

Пример 3. Упростим выражение

Здесь удобно сложение и вычитание дробей выполнять не последовательно, а совместно:

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Сложение и вычитание рациональных дробей с разными знаменателями сводится к сложению и вычитанию рациональных дробей с одинаковыми знаменателями. Для этого данные дроби приводят к общему знаменателю.

Пример 1. Сложим дроби

Знаменатели дробей представляют собой одночлены. Наиболее простым общим знаменателем является одночлен . Коэффициент этого одночлена равен наименьшему общему кратному коэффициентов знаменателей дробей, а каждая переменная взята с наибольшим показателем, с которым она входит в знаменатели дробей. Дополнительные множители к числителям и знаменателям этих дробей соответственно равны .

Имеем

Пример 2. Преобразуем разность

Чтобы найти общий знаменатель, разложим знаменатель каждой дроби на множители:

Простейшим общим знаменателем служит выражение Дополнительные множители к числителям и знаменателям этих дробей соответственно равны b и а.

Имеем

Преобразование рационального выражения, которое является суммой или разностью целого выражения и дроби, сводится к преобразованию суммы или разности дробей.

Пример 3. Упростим выражение

Представим выражение а – 1 в виде дроби со знаменателем 1 и выполним вычитание дробей:

 Умножение дробей. Возведение дроби в степень

При умножении обыкновенных дробей перемножают отдельно их числители и их знаменатели и первое произведение записывают в числителе, а второе — в знаменателе дроби. Например:

Таким же образом перемножают любые рациональные дроби:

где а, b, с и d — некоторые многочлены, причем b и d — ненулевые многочлены. Это равенство выражает правило умножения рациональных дробей:

чтобы умножить дробь на дробь, нужно перемножить их числители и перемножить их знаменатели и первое произведение записать числителем, а второе — знаменателем дроби.

Пример 1. Умножим дробь на дробь

Воспользуемся правилом умножения дробей:

Пример 2. Умножим дробь на дробь

Имеем

Пример 3. Представим произведение в виде рациональной дроби.

Имеем

Пример 4. Умножим дробь на многочлен

При умножении дроби на многочлен этот многочлен записывают в виде дроби и затем применяют правило умножения дробей:

Правило умножения дробей распространяется на произведение трех и более рациональных дробей. Например:

Выясним теперь, как выполняется возведение рациональной дроби в степень.

Рассмотрим выражение , являющейся  n-й степенью  рациональной дроби и докажем, что

По определению степени имеем

Применяя правило умножения рациональных дробей и определение степени, получим

Следовательно , 

Из доказанного тождества следует правило возведения рациональной дроби в степень:

чтобы возвести дробь в степень, надо возвести в эту степень числитель и знаменатель и первый результат записать в числителе, а второй — в знаменателе дроби.

Пример 5. Возведем дробь в третью степень.

Воспользуемся правилом возведения в степень:

Деление дробей

При делении обыкновенных дробей первую дробь умножают на дробь, обратную второй. Например:

Так же поступают при делении любых рациональных дробей:

где а, b, с и d — некоторые многочлены, причем b, c и d — ненулевые многочлены.

Это равенство выражает правило деления рациональных :

чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй.

Пример 1. Разделим дробь на дробь .

Воспользуемся правилом деления дробей:

Пример 2. Разделим дробь на дробь

Имеем

Пример 3. Разделим дробь на многочлен a + 3.

При делении дроби на многочлен этот многочлен записывают в виде дроби и затем применяют правило деления дробей:

Преобразование рациональных выражений

 Рациональное выражение представляет собой частное от деления суммы рациональных дробей многочлен.

Деление на  можно заменить умножением на дробь Поэтому преобразование данного выражения сводится к сложению дробей и умножению результата на дробь  Вообще преобразование любого рационального выражения можно свести к сложению, вычитанию, умножению или делению рациональных дробей.

Из правил действий с дробями следует, что сумму, разнос произведение и частное рациональных дробей всегда можно предс вить в виде рациональной дроби. Значит, и всякое рациональное выражение можно представить в виде рациональной дроби.

Пример 1. Преобразуем в рациональную дробь выражение

Сначала выполним умножение дробей, затем полученный результат вычтем из многочлена x + 1:

Запись можно вести иначе:

Пример 2. Представим выражение

в виде рациональной дроби.

Сначала сложим дроби, заключенные в скобки, затем найденный результат умножим на дробь и, наконец, к полученному произведению прибавим 1:

Источник: https://forkettle.ru/vidioteka/estestvoznanie/matematika/181-algebra/algebra-7-9-klassy/1878-algebra-7-9-klassy-14-reshenie-tipovykh-zadanij-po-teme-drobnye-ratsionalnye-vyrazheniya

Поделиться:
Нет комментариев

    Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Все поля обязательны для заполнения.