Неравенства решение неравенств свойства неравенства. Неравенства

Урок 5: Неравенства

Неравенства решение неравенств свойства неравенства. Неравенства

План урока:

Сравнение чисел

Свойства неравенств

Оценка значений выражений

Доказательство неравенств

Решение неравенств с одной переменной

Решение систем неравенств с одной переменной

Решение совокупностей неравенств

Метод интервалов

Сравнение чисел

Если выбрать любые два различных числа, то одно из них обязательно окажется больше другого. Например, 15 больше, чем 12. Для записи этого факта используются специальные знаки. Символ «», означает «больше». Помимо них для сравнения чисел используются символы «⩾» (больше или равно) и «⩽» (меньше или равно).

Выражения, содержащие знаки сравнения, называются неравенствами. Иногда в учебной литературе может использоваться сокращение: нер-во.

Сравнивать натуральные числа очень легко, однако при сравнении отрицательных, дробных, иррациональных чисел могут возникнуть проблемы. Существует универсальный способ сравнивать числа между собой, основанный на использовании координатной прямой.

Можно заметить, что чем больше число, тем правее оно располагается на координатной прямой. Это правило действует для всех действительных чисел.

Отметим на прямой два числа, а и b, а также расстояние между ними (буква c):

b располагается правее а, а потому

b>a

Расстояние между ними равно c, причем с – положительное число. Очевидно, что

b– а = с

Перенося слагаемые через знак равенства, можно получить

а – b = – с

Получается, что при вычитании из большего меньшего получается положительное число. Если же уменьшаемое меньше вычитаемого, то их разность – отрицательное число. На этом факте основан один из способов сравнения чисел. Чтобы узнать, какое из двух чисел больше, надо лишь вычесть их друг из друга и проанализировать знак получившейся разности.

Пример. Сравните дроби 29/35 и 33/40

Решение. Найдем разность этих двух дробей:

Получили положительное число. Значит, уменьшаемое больше вычитаемого.

Ответ: 29/35 > 33/40.

Свойства неравенств

Рассмотрим основные свойства числовых неравенств, которые в дальнейшем помогут нам решать некоторые задачи.

Докажем это. Если а >b, то тогда и разность (a –b) является положительным числом:

а – b = c

умножив части равенства на (– 1), получим:

– (а – b) = – с

(b– a) = – с

Так как разность (b– a)оказалась равна отрицательному числу (– с), тоba, то оно располагается правее. Аналогично и с располагается правее b, так как с >b. Видно, что тогда сбудет находиться правее а, то есть оно больше.

Данное свойство называют транзитивностью. Им обладает не только отношение «больше – меньше», но и ряд других отношений. Например, из геометрии известно, что если отрезок АВ параллелен отрезку CD, а тот в свою очередь параллелен ещё одному отрезку EF, то и АВ параллельно ЕF.

Свойство транзитивности позволяет использовать так называемые двойные неравенства. Например, нам надо указать, что 25 меньше 48, а 48 меньше 94. Это можно записать в виде одного неравенства:

25 < 48 < 94

Можно использовать и более двух знаков сравнения:

365 » на «=»:

(х – 5)(х – 7)(4 – 2х) = 0

Получили уравнение. Вспомним правило: произведение множителей равно нулю, если хоть один из них равен нулю. Поэтому

х – 5 = 0 или х – 7 = 0 или 4 – 2х = 0

Решим каждое из трех полученных линейных уравнений:

х = 5

х = 7

– 2х = – 4

х = 2

Получили корни 2, 5 и 7. Отметим их на координатной прямой:

Эти точки разбивают числовую прямую на 4 промежутка:

  • (– ∞; 2);
  • (2; 5);
  • (5; 7);
  • (7; + ∞).

В исходном неравенстве слева стоит произведение (х – 5)(х – 7)(4 – 2х). Определим его знак на каждом из этих 4 интервалов. Для этого достаточно взять одно число из интервала и подставить его в выражение:

  1. Из промежутка (– ∞; 2) возьмем х = 0:

(х – 5)(х – 7)(4 – 2х) = (0 – 5)(0 – 7)(4 – 2•0) = (– 5)•(– 7)•4 = 140

Получили число, большее нуля: 140 > 0

  1. Из промежутка (2; 5) возьмем х = 3:

(х – 5)(х – 7)(4 – 2х) = (3 – 5)(3 – 7)(4 – 2•3) = (– 2)•(– 4)•(– 2) = – 16

Получили отрицательное число.

  1. Из промежутка (5; 7) возьмем х = 6:

(х – 5)(х – 7)(4 – 2х) = (6 – 5)(6 – 7)(4 – 2•6) = 1•(– 1)•(– 8) = 8

Получили положительное число

  1. Для последнего промежутка возьмем х = 8:

(х – 5)(х – 7)(4 – 2х) = (8 – 5)(8 – 7)(4 – 2•8) = 3•1•(– 12) = – 36

Теперь поставим на числовой прямой знаки, соответствующие каждому интервалу:

Так как в исходном неравенстве стоял знак «>», то в ответ надо записать объединение тех интервалов, на которых левая часть принимает положительные значения.

Ответ: (– ∞; 2)⋃(5; 7)

В этом примере можно заметить, что знаки в интервалах чередовались. Так и должно происходить в том случае, если каждый из множителей в левой части является многочленом первой степени. Напомним, что многочлен 1-ой степени – это выражение вида ах + с, например:

  • 5х + 9
  • 8х – 13
  • 7,56х + 12,35

Пример. Определите, при каких значениях переменной полином

х2 – 8х + 12

принимает отрицательные значения.

Решение. По сути, нам надо решить нер-во

х2 – 8х + 12< 0

Вспомним, что квадратный трехчлен можно разложить на линейные множители. Для этого надо решить уравнение:

х2 – 8х + 12 = 0

D = (– 8)2 – 4•1•12 = 64 – 48 = 16

Зная х1 и х2, можем записать, что

х2 – 8х + 12 = (х – х1)(х – х2) = (х – 2)(х – 6)

Перепишем исходное нер-во:

(х – 2)(х – 6) > 0

К нему уже можно применить метод интервалов (так как в левой части стоит произведение):

(х – 2)(х – 6) = 0

х – 2 = 0 или х – 6 = 0

х = 2 или х = 6

Естественно, что мы получили те же корни, что и при решении квадратного уравнения выше. Отметим корни на прямой и определим значение трехчлена на каждом из полученных интервалов:

На промежутке (– ∞; 2) при х = 1 имеем (1 – 2)(1 – 6) = (– 1)•(– 5) = 5

Промежуток (2; 6): при х = 3 получаем (3 – 2)(3 – 6) = 1• (– 3) = – 3

На промежутке (6; + ∞) при х = 7 получается (7 – 2)(7 – 6) = 5•1 = 5

В итоге трехчлен отрицателен тогда, когда х принадлежит интервалу (2; 6).

Ответ (2; 6).

Источник: https://100urokov.ru/predmety/urok-5-neravenstva

Тема 4. Неравенства и системы неравенств – Материалы для подготовки к вступительным экзаменам в СГГА

Неравенства решение неравенств свойства неравенства. Неравенства

    При решении неравенств вы должны свободно владеть понятием числового неравенства, знать, что такое решение неравенства, что значит решить неравенство, помнить свойства неравенств. То же относится и к системам числовых неравенств. Все эти сведения вы можете найти в любом пособии для поступающих в вузы.     Напомним свойства числовых неравенств.    1. Если а > b , то b < а; наоборот, если а < b, то b > а.    2. Если а > b и b > c, то а > c. Точно так же, если а < b и b < c, то а < c.    3. Если а > b, то а + c > b+ c (и  а – c > b – c). Если же а < b, то а + c < b+ c (и а – c < b – c). Т. е. к обеим частям неравенства можно прибавлять (или из них вычесть) одну и ту же величину.    4. Если а > b и c > d, то а + c > b + d; точно так же, если а < b и c < d, то а + c < b + d, т. е. два неравенства одинакового смысла можно почленно складывать.Замечание. Два неравенства одинакового смысла нельзя почленно вычитать друг из друга, так как результат может быть верным, но может быть и неверным. Например, если из неравенства 11 > 9 почленно вычесть неравенство 3 > 2, то получим верное неравенство 8 > 7. Если из неравенства 11 > 9 почленно вычесть неравенство 7 > 2, то полученное неравенство будет неверным.    5. Если а > b и c < d, то а – c > b – d; если а < b и c > d, то а – c < b – d, т.е. из одного неравенства можно почленно вычесть другое неравенство противоположного смысла, оставляя знак того неравенства, из которого вычиталось другое.    6. Если а > b и m – положительное число, то m а > m b и  , т.е. обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же положительное число ( знак неравенства остаётся тем же ).    Если же а > b и n – отрицательное число, то n а < n b и , т.е. обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, но при этом знак неравенства нужно переменить на противоположный.    7. Если а > b и c > d , где а, b, c, d > 0, то а c > b d и если а < b и c < d, где а, b, c, d > 0, то аc < bd, т.е. неравенства одного смысла на множестве положительных чисел можно почленно перемножать.Следствие. Если а > b, где а, b > 0, то а2 > b2, и если а < b, то а2 < b2, т.е. на множестве положительных чисел обе части неравенства можно возводить в квадрат.    8. Если а > b, где а, b > 0, то  и если а < b , то . Пример 1. Решить неравенство .    Решение:          .    Ответ: х < – 2. Пример 2. Решить систему неравенств      Решение:         .    Ответ: (– 2; 0].Пример 3. Найти наименьшее целое решение системы неравенств     Решение:            Ответ:  Пример 4. Решить неравенство х2 > 4.    Решение:        х2 > 4   (х – 2)∙(х + 2) > 0.        Решаем методом интервалов.         Ответ:Пример 5. Решить неравенство (х + 3)∙(х2 – 2х + 1) > 0.     Решение:              Ответ: .  Пример 6. Найти середину отрезка, который является решением неравенства 4х2 – 24х + 24 < 4у2, где   .    Решение:        Область определения неравенства: .        С учётом области определения 4х2 – 24х + 24 < 4у2 будет равносильно неравенству         Решаем методом интервалов.                Решение неравенства: .        Середина отрезка: .    Ответ: . Пример 7. Найти все целые решения, удовлетворяющие неравенству .    Решение:                                      Методом интервалов:        Решение неравенства: .        Целые числа, принадлежащие полученным полуинтервалам: – 6; – 5; – 4; 1.     Ответ:  – 6; – 5; – 4; 1. Помните! Начинать решение иррациональных неравенств нужно с нахождения области определения.Пример 8. Решить неравенство .    Решение:            Область определения: .        Так как арифметический корень не может быть отрицательным числом, то .    Ответ: .Пример 9. Найти все целые решения неравенства .    Решение:        Область определения .        – быть отрицательным не может, следовательно, чтобы произведение было неотрицательным достаточно потребовать выполнения неравенства , при этом учитывая область определения. Т.е. исходное неравенство равносильно системе .         Целыми числами из этого отрезка будут 2; 3; 4.    Ответ: 2; 3; 4.Пример 10. Решить неравенство .    Решение:        Область определения:          Преобразуем неравенство: . С учётом области определения видим, что обе части неравенства –  положительные числа. Возведём обе части в квадрат и получим неравенство, равносильное  исходному.         т.е. , и этот числовой отрезок включён в область определения.    Ответ: .Пример 11. Решить неравенство .    Решение:        Раскрываем знак модуля.                Объединим решения систем 1) и 2): .    Ответ: Пример 12. Решите неравенство .    Решение:                      .    Ответ: .Пример 13. Решите неравенство .    Решение:        .    Ответ: .Пример 14. Решите неравенство .    Решение:            Ответ: .Пример 15. Решите неравенство .    Решение:            Ответ: .        1) Решите неравенство 2х – 5 ≤ 3 + х.    2) Решите неравенство – 5х > 0,25.     3) Решите неравенство .    4) Решите неравенство 2 – 5х ≥ – 3х.    5) Решите неравенство х + 2 < 5x – 2(x – 3).    6) Решите неравенство  .    7) Решите неравенство (х – 3) (х + 2) > 0.    8) Решить систему неравенств      9) Найдите целочисленные решения системы неравенств .     10) Решить систему неравенств .    11) Решить систему неравенств      12) Найти наименьшее целое решение неравенства      13) Решите неравенство .    14) Решите неравенство .    15) Решите неравенство .    16) Решите неравенство .    17) Найдите решение неравенства , принадлежащие промежутку .    18) Решить систему неравенств      19) Найти все целые решения системы      20) Решите неравенство .    21) Решите неравенство .    22) Определите число целых решений неравенства .    23) Определите число целых решений неравенства .    24) Решите неравенство .    25) Решите неравенство 2×0 .    47) Решите неравенство .    48) Решите неравенство .    49) Решите неравенство .    50) Решите неравенство logx+112>logx+12 .    51) Решите неравенство logx92x.    54) Решите неравенство 2│х + 1| > х + 4.    55) Найдите наибольшее целое решение неравенства .    56) Решить систему неравенств      57) Решить систему неравенств .    58) Решите неравенство .    59) Решите неравенство 25•2x-10x+5x>25 .    60) Решите неравенство .1) х ≤ 8; 2) х < – 0,05; 3) х ≥ 5; 4) х ≤ 1; 5) х > –2; 6) х < 11; 7) ; 8) (-2;0]; 9) – 1; 10) х ≥ 7,5;               11); 12) 1; 13); 14) х ≤ – 0,9; 15) х < – 1; 16) х < 24; 17); 18) ; 19) 3, 4, 5; 20) (0; 2); 21) (0; 1,5); 22) 3; 23) 6; 24) (–1; 1,5); 25) х < 4; 26); 27) (– 3; 17);                                           28); 29) – 10; 30) (0; + ∞); 31); 32) [1;17); 33) x > 17; 34) х ≥ 2; 35);   36) х < 2; 37) х > 0; 38) х ≤ 3; 39) х > – 3,5; 40) х > – 0,5; 41) 0, 1, 2, 3, 4, 5; 42) х < 3; 43) ; 44) х < 1;                           45) 46) (– 1,5; – 1); 47) х < 0; 48); 49) ; 50) х > 0;            51) ; 52) ; 53) х < 1; 54); 55) – 1; 56) ; 57) [3,5; 10]; 58) (0, 1); 59) (0; 2); 60) .

Источник: https://www.sites.google.com/a/ssga.ru/ssga4school/matematika/tema-4

Алгебра. Урок 8. Неравенства, системы неравенств

Неравенства решение неравенств свойства неравенства. Неравенства

Смотрите бесплатные видео-уроки по теме “Неравенства” на канале Ёжику Понятно.

-уроки на канале Ёжику Понятно.

страницы:

Что такое неравенство? Если взять любое уравнение и знак     =     поменять на любой из знаков неравенства:

>    больше,

≥    больше или равно,

18

− 3 x > 18 − 6 − 3 x > 12 | ÷ ( − 3 )

Делим обе части неравенства на (-3) – коэффициент, который стоит перед  x. Так как    − 3 − 8 x + 48

− 8 x + 8 x > 48 − 6

0 > 42

Получили неверное равенство, которое не зависит от переменной x. Какие бы значения мы ни подставляли в исходное неравенство, результат окажется одним и тем же – неверное неравенство. Ни при каких значениях x исходное неравенство не станет верным. Данное неравенство не имеет решений. Запишем ответ.

Ответ: x ∈ ∅

Квадратные неравенства

Квадратные неравенства – это неравенства вида: a x 2 + b x + c > 0 a x 2 + b x + c ≥ 0 a x 2 + b x + c , или ≥ в ответ выбираем интервалы со знаком +.

Если знак неравенства 0 ⇒ будет два различных действительных корня

x 1,2 = − b ± D 2 a = − ( − 1 ) ± 49 2 ⋅ 1 = 1 ± 7 2 = [ 1 + 7 2 = 8 2 = 4 1 − 7 2 = − 6 2 = − 3

Наносим точки на ось x. Так как знак неравенства нестрогий, точки будут жирными. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 6. Подставляем эту точку в исходное выражение:

x 2 − x − 1 = 6 2 − 6 − 1 = 29 > 0

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 6 будет   +.

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

В ответ пойдут два интервала. В математике для объединения нескольких интервалов используется знак объединения: ∪ .

Точки -3 и 4 будут в квадратных скобках, так как они жирные.

Ответ:   x ∈ ( − ∞ ; − 3 ] ∪ [ 4 ; + ∞ )

№2. Решить неравенство    − 3 x − 2 ≥ x 2 .

Решение:

Приводим неравенство к виду a x 2 + b x + c   ≥ 0, а затем решаем уравнение a x 2 + b x + c = 0.

− 3 x − 2 ≥ x 2

− x 2 − 3 x − 2 ≥ 0

− x 2 − 3 x − 2 = 0

a = − 1, b = − 3, c = − 2

D = b 2 − 4 a c = ( − 3 ) 2 − 4 ⋅ ( − 1 ) ⋅ ( − 2 ) = 9 − 8 = 1

D > 0 ⇒ будет два различных действительных корня

x 1,2 = − b ± D 2 a = − ( − 3 ) ± 1 2 ⋅ ( − 1 ) = 3 ± 1 − 2 = [ 3 + 1 − 2 = 4 − 2 = − 2 3 − 1 − 2 = 2 − 2 = − 1

x 1 = − 2, x 2 = − 1

Наносим точки на ось x. Так как знак неравенства нестрогий, точки будут жирными. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 0. Подставляем эту точку в исходное выражение:

− x 2 − 3 x − 2 = − ( 0 ) 2 − 3 ⋅ 0 − 2 = − 2 0 2 x + 3 ≤ x 2

Алгоритм решения системы неравенств

  1. Решить первое неравенство системы, изобразить его графически на оси x.
  1. Решить второе неравенство системы, изобразить его графически на оси x.
  1. Нанести решения первого и второго неравенств на ось x.
  1. Выбрать в ответ те участки, в которых решение первого и второго неравенств пересекаются. Записать ответ.

Примеры решений систем неравенств:

№1. Решить систему неравенств   { 2 x − 3 ≤ 5 7 − 3 x ≤ 1

Решение:

Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.

  1. Решаем первое неравенство системы.

2 x − 3 ≤ 5  

2 x ≤ 8 | ÷ 2 , поскольку  2 > 0,  знак неравенства после деления сохраняется.

x ≤ 4 ;

Графическая интерпретация:

Точка 4 на графике жирная, так как знак неравенства нестрогий.

  1. Решаем второе неравенство системы.

7 − 3 x ≤ 1

− 3 x ≤ 1 − 7

− 3 x ≤ − 6 | ÷ ( − 3 ),  поскольку  − 3 12 |   ÷ 2 ,  поскольку  2 > 0,  знак неравенства после деления сохраняется.

x > 6

Графическая интерпретация решения:

  1. Наносим оба решения на ось x.
  1. Выбираем подходящие участки и записываем ответ.

Пересечений решений не наблюдается. Значит у данной системы неравенств нет решений.

Ответ:   x ∈ ∅

№4. Решить систему неравенств   { x + 4 > 0 2 x + 3 ≤ x 2

Решение:

Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.

  1. Решаем первое неравенство системы.

x + 4 > 0

x > − 4

Графическая интерпретация решения первого неравенства:

  1. Решаем второе неравенство системы

2 x + 3 ≤ x 2

− x 2 + 2 x + 3 ≤ 0

Решаем методом интервалов.

− x 2 + 2 x + 3 = 0

a = − 1, b = 2, c = 3

D = b 2 − 4 a c = 2 2 − 4 ⋅ ( − 1 ) ⋅ 3 = 4 + 12 = 16

D > 0 – два различных действительных корня.

x 1,2 = − b ± D 2 a = − 2 ± 16 2 ⋅ ( − 1 ) = − 2 ± 4 − 2 = [ − 2 − 4 − 2 = − 6 − 2 = 3 − 2 + 4 − 2 = 2 − 2 = − 1

Наносим точки на ось x и расставляем знаки на интервалах. Поскольку знак неравенства нестрогий, обе точки будут заштрихованными.

Графическая интерпретация решения второго неравенства:

  1. Наносим оба решения на ось x.
  1. Выбираем подходящие участки и записываем ответ.

Пересечение решений наблюдается в двух интервалах. Для того, чтобы в ответе объединить два интервала, используется знак объединения  ∪ .

Точка -4 будет в круглой скобке, так как она выколотая, а точки -1 и 3 в квадратных, так как они жирные.

Ответ:   x ∈ ( − 4 ; − 1 ] ∪ [ 3 ; + ∞ )

Скачать домашнее задание к уроку 8.

Источник: https://epmat.ru/modul-algebra/urok-8-neravenstva-sistemy-neravenstv/

Неравенства. Основные свойства неравенств

Неравенства решение неравенств свойства неравенства. Неравенства
Два выражения, числовые или буквенные, соединенные знаком “больше” (>) или знаком “меньше” ( -2 тождественно, так как при всяком числовом (действительном) значении а величина a2 положительна или равна нулю и, значит, всегда больше, чем -2.

Два выражения соединяются также знаками (“меньше или равно”) и (“больше или равно”). Так, запись 2a ≥ 3b означает, что величина 2a либо больше величины 3b, либо равна ей. Такие записи также именуются неравенствами.

Буквенные величины, входящие в неравенство, могут подразделяться на известные и неизвестные. Какие из букв представляют известные, а какие неизвестные величины, должно быть отдельно указано. Обычно для этого неизвестные величины обозначаются последними буквами латинского алфавита х, у, z, u, v и т. д.

Решить неравенство – значит указать границы, в которых должны заключаться (действительные) значения неизвестных величин, чтобы неравенство было верным.

Если дано несколько неравенств, то решить систему этих неравенств – значит указать границы, в которых должны заключаться значения неизвестных величин, чтобы все данные неравенства были верными.

Пример 3. Решить неравенство a2 < 4. Это неравенство верно, если |x| < 2, т. е. если x заключено в границах между -2 и +2.

Решение имеет вид: -2 < x < 2.
Пример 4. Решить неравенство 2x > 8. Решение имеет вид: x > 4. Здесь x ограничено только с одной стороны.
Пример 5. Неравенство (x – 2)(x – 3) > 0 верно, если x > 3 (тогда оба сомножителя (x – 2), (x – 3) положительны), а также при х < 2 (тогда оба сомножителя отрицательны), и неверно, когда x заключено в границах между 2 и 3 (а также при x = 2 и при x = 3). Поэтому решение представляется двумя неравенствами: x > 3; x < 2.
Пример 6. Неравенство x2 < -2 не имеет решений. 1. Если a > b, то b < a; и наоборот, если a < b то b > a.
Пример. Если 5x – 1 > 2x + 1, то 2x + 1 < 5x - 1.

2. Если a > b и b > c, то a > c. Точно так же, если a < b и b < c, то a < c.

Пример. Из неравенств x > 2y, 2y > 10 следует, что x > 10.

3. Если a > b, то a + c > b + ca – c > b – c). Если же a < b, то a + c < b + ca – c < b - c), т. е. к обеим частям неравенства можно прибавить (или из них вычесть) одну и ту же величину.

Пример 1. Дано неравенство x + 8 > 3. Вычитая из обеих частей неравенства число 8, находим x > -5.
Пример 2. Дано неравенство x – 6 < -2. Прибавляя к обеим частям 6, находим x < 4.4. Если a > b и c > d, то a + c > b + d; точно так же, если a < b и c < d, то a + c < b + d, т. е. два неравенства одинакового смысла можно почленно складывать. Это справедливо и для любого числа неравенств, например, если a1 > b1, a2 > b2, a3 > b3, то a1 + a2 + a3 > b1 + b2 + b3.
Пример 1. Неравенства -8 > -10 и 5 > 2 верны. Складывая их почленно, находим верное неравенство -3 > -8.
Пример 2. Дана система неравенств 1/2x + 1/2y < 18; 1/2x - 1/2y < 4. Складывая их почленно, находим x < 22.

Замечание. Два неравенства одинакового смысла нельзя почленно вычитать друг из друга, так как результат может быть верным, но может быть и неверным.

Например, если из неравенства 10 > 8 почленно вычесть неравенство 2 > 1, то получим верное неравенство 8 > 7, но если из того же неравенства 10 > 8 почленно вычесть неравенство 6 > 1, то получим нелепость.

5. Если a > b и c < d, то a – c > b – d; если a < b и c > d, то a – c < b - d, т. е. из одного неравенства, можно почленно вычесть другое неравенство противоположного смысла, оставляя знак того неравенства, из которого вычиталось другое.

Пример 1. Неравенства 12 < 20 и 15 > 7 верны. Вычитая почленно второе из первого и оставляя знак первого, получаем верное неравенство – 3 < 13. Вычитая почленно первое из второго и оставляя знак второго, находим верное неравенство 3 > -13.

Пример 2. Дана система неравенств 1/2x + 1/2y < 18; 1/2x – 1/2y > 8. Вычитая из первого неравенства второе, находим у < 10.

6. Если a > b и m – положительное число, то ma > mb и a/m > b/m, т.е. обе части неравенства можно разделить или умножить на одно и то же положительное число (знак неравенства остается тем же).

Если же a > b и n – отрицательное число, то na < nb и a/n < b/n, т.е. обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, но при этом знак неравенства нужно переменить на противоположный.

Пример 1. Разделив обе части верного неравенства 25 > 20 на 5, получим верное неравенство 5 > 4. Если же мы делим обе части неравенства 25 > 20 на -5, то нужно переменить знак > на -4.

Пример 2. Из неравенства 2x < 12 следует, что x < 6.
Пример 3. Из неравенства -1/3x > 4 следует, что x < -12.
Пример 4. Дано неравенство x/k > y/l; из него следует, что lx > ky, если знаки чисел l и k одинаковы, и что lx < ky, если знаки чисел l и k противоположны.

Источник: http://methmath.ru/neravenstva.html

Конспект

Неравенства решение неравенств свойства неравенства. Неравенства

Ключевые слова: определение неравенства, строгие и нестрогие неравенства, свойства неравенств, примеры решения задач на неравенства. Раздел ОГЭ по математике: 3.2.1 Числовые неравенства и их свойства.

Из двух чисел a и b справедливо одно из следующих соотношений: а > b, а < b, a = b.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если разность a – b положительна, то а > b; если разность а – b отрицательна, то а < b; если разность а – b равна нулю, то a = b.

Этому определению можно дать геометрическую иллюстрацию: из двух чисел a и b большим является то, которому на координатной прямой соответствует точка, расположенная правее, и меньшим то, которому соответствует точка, расположенная левее.

Неравенства а > b и а < b называют строгими неравенствами. Рассматриваются также нестрогие неравенства:

  • неравенство a ≥ b, читают «а больше или равно b», или «а не меньше b»; это неравенство верно, если а > b или a = b
  • неравенство a ≤ b, читают «а меньше или равно b», или «а не больше b»; это неравенство верно, если a < b или a = b.

Например, верными являются неравенства 7 ≥ 2, 7 ≥ 7, 5 ≤ 6.

Справедливы следующие свойства неравенств:

  • (1) если а > b, то b < а;
  • (2) если а > b и b>с, то а > с (транзитивность неравенства);
  • (3) если а > b и с – любое число, то a + с > b + с;
  • (4) если а > b и с > 0, то ac > bc; если a > b и с < 0, то ас < bс;
  • (5) если а > b и c > d, то a + с > b + d;
  • (6) если а > b и с > d и a, b, с, d – положительные числа, то ас > bd.

Свойство (3) читают так: к обеим частям неравенства можно прибавить любое число. Слово «можно» здесь (и далее) означает, что при таком преобразовании получается неравенство, равносильное данному, т. е.

оно будет верным, если данное неравенство было верным, и неверным, если исходное неравенство было неверным.

Из этого свойства следует, что любое слагаемое можно переносить из одной части неравенства в другую, изменив знак этого слагаемого на противоположный.

Свойство (4) читается так: обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же положительное число, оставив знак неравенства без изменения; обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, поменяв знак неравенства на противоположный. В частности, если поменять знаки обеих частей неравенства на противоположные (т. е. умножить обе части неравенства на –1), то надо заменить на противоположный и знак неравенства. Например, поменяв знаки обеих частей неравенства –10 < 2, получим 10 > –2. Полезно также уметь работать с двойными неравенствами: при изменении знаков всех трёх частей двойного неравенства оба знака неравенства заменяются на противоположные. Так, заменив знаки в двойном неравенстве а ≥ b < с, получим –а ≥ –b > –с, или в более привычной записи –с < –b ≤ –а.

Свойства (5) и (6) читают так: неравенства одного знака можно почленно складывать; неравенства одного знака с положительными членами можно почленно умножать.

Аналогичные неравенства справедливы и для знаков >, –2;              4) а – b > 2

При выполнении задания используется определение понятий «больше» и «меньше» и свойство транзитивности. Из рисунка видно, что а > b. Отсюда а – b > 0. Значит, неравенства 1 и 2 не являются верными. Рассмотрим неравенство 3.

Так как a – b > 0 и 0 > – 2, то a – b > – 2, т. е. это утверждение верно. Убедимся на всякий случай в том, что неравенство под номером 4 не является верным.

Действительно, из а – b > 0 не следует, что a – b >2, так как, например, при а=1, b = 0 разность а – b равна 1, т. е. меньше 2.

Ответ: 3.

Пример 2. Известно, что х > 10, y > 20. Какие из следующих неравенств верны при любых значениях х и у, удовлетворяющих этому условию:  I. ху > 200;   II. ху > 100;   III. ху > 400 ?

1) I и II                        2) I и III           3) II и III          4) I, II и III

Все члены двух данных неравенств – положительные числа. Перемножим почленно эти неравенства, получим ху > 200. Итак, неравенство I является верным.

Неравенство II следует из неравенства I на основании свойства транзитивности: ху > 200, 200 > 100, значит, ху > 100.

Неравенство III при некоторых значениях х и у, удовлетворяющих заданному условию, выполняется, a при некоторых нет, например, оно не выполняется при х = 11 и y = 21.

Ответ: 1.

Пример 3. Оценим разность а – b, если известны границы a и b:   10 < a < 11,   4 < b < 5.

Неравенства одинакового смысла можно складывать, поэтому заменим разность суммой: a + (–b) и найдём границы числа –b:   –4 > –b > –5, или –5 < –b < –4. Теперь сложим почленно двойные неравенства: 10 b > 0, то а2 > b2. Для этого рассмотрим разность а2 – b2:

а2 – b2 = (а – b) (а + b).

Оба множителя в правой части равенства положительны: а – b > 0, так как a > b; a + b > 0, так как a и b – положительные числа. Значит, а2– b2 > 0, отсюда следует, что а2 > b2. Теперь докажем обратное утверждение: если а > 0, b > 0 и а2 > b2, то а > b:

а2 – b2 = (а – b) (а + b).

Из того что а2 > b2, следует, что а2 – b2> 0, значит, произведение в правой части положительно. Так как a + b > 0, то второй множитель а – b также положителен, т. е. а – b > 0. Следовательно, а > b.

Это конспект по алгебре на тему «Неравенства. Общие свойства». Выберите дальнейшие действия:

Источник: https://uchitel.pro/%D0%BD%D0%B5%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B5%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0-%D0%BE%D0%B1%D1%89%D0%B8%D0%B5-%D1%81%D0%B2%D0%BE%D0%B9%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0/

Поделиться:
Нет комментариев

    Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Все поля обязательны для заполнения.